Tübitak Lise Takım Seçme 2024 Soru 1

[diktendik]

İç merkezi $I$, çevrel merkezi $O$ olan bir $ABC$ üçgeninde, $AI$'nın $ABC$'nin çevrel çemberi ile ikinci kesişimi $P$ olsun. $I$'dan geçip $AI$'ya dik olan doğrunun $BC$ ile kesişimi $X$ olsun. $X$'ten $IO$'ya inen dikme ayağı $Y$ olmak üzere, $A,P,X$ ve $Y$'nin çembersel olduğunu gösteriniz.

[diktendik]

$XY\cap AP=L$ olsun. İç açıortay açı kuralından $\angle{XIB}=\angle{XCI}$ olduğunu biliyoruz. Benzerlikten $|XI|^2=|XB|\cdot|XC|$ elde edilir. $|LP|\cdot|LA|=|LI|^2$ ise, kuvvet vasıtasıyla ispat biter. (Öklitten $|LI|^2=|LY|\cdot|LX|$ olduğunu biliyoruz.) $I$ noktasında noktasal bir çember olduğunu düşünelim. Bu çembere $X$'ten çizilen teğet $XI$ olduğundan $X$'in bu çembere kuvveti $|XI|^2$'dir. Bunun, $|XB|\cdot|XC|$'ye eşit olduğunu söylemiştik. Yani, $X$ noktası $(ABC)$ ve az önce bahsi geçen çemberin kuvvet ekseni üzerindedir. Ayrıca bu eksen $IO$'ya dik olacağından $XY$'dir. $L$ noktası eksen üzerinde olduğundan $|LI|^2=|LP|\cdot|LA|$ olur. İspat biter.

Not
$AX\cap (ABC)=R$ ve $I$'dan $BC$'ye inen dikme ayağından geçen doğrunun $P$'den geçtiği görülerekte çözüm yapılabilir. Ayrıca $\angle{PYR}$ açısının açıortayının $OI$ doğrusu olduğunu ispatlamakta çözümü bitirir. $O$ noktası bu açıortayın üzerinde olacağından hoş birkaç durum var ama net bir çözüm elde edemedim. Yapan olursa paylaşabilir.