Gönderen Konu: Tübitak Lise Takım Seçme 2024 Soru 2  (Okunma sayısı 610 defa)

Çevrimdışı diktendik

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 125
  • Karma: +0/-0
Tübitak Lise Takım Seçme 2024 Soru 2
« : Haziran 10, 2024, 06:52:49 ös »
Tüm $x,y\in\mathbb{R}$ gerçel sayıları için $$(f(x+y))^3=(x+2y)f(x^2)+f(f(y))(x^2+3xy+y^2)$$ denklemini sağlayan bütün $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonlarını bulunuz.
« Son Düzenleme: Haziran 11, 2024, 10:40:10 ös Gönderen: Metin Can Aydemir »

Çevrimdışı diktendik

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 125
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak lise takım seçme 2024 soru 2
« Yanıtla #1 : Haziran 10, 2024, 07:09:39 ös »
Yazdığımız $(x,y)$ ikililerini $P(x,y)$ olarak gösterelim.
$$\begin{array}{lcl}
P(0,0) &:& f^3(0)=0 \Rightarrow f(0)=0 \\
P(x,0) &:& f^3(x)=xf(x^2) \\
P(0,x) &:& f^3(x)=x^2f(f(x))
\end{array}$$
Buradan her $x\neq 0$ $x$ reel sayısı için $xf(f(x))=f(x^2)$ elde ederiz. Ayrıca $f(0)=0$ olduğundan $x=0$ içinde durum sağlanır. Yani tüm reel sayılar için $xf(f(x))=f(x^2)$'dir. Denklemin sol tarafı için $P(x,y)=P(y,x)$ olduğu açıktır. Dolayısı ile sağ taraf içinde aynısı geçerlidir. Buradan $$(x+2y)f(x^2)+f(f(y))(x^2+3xy+y^2)=(2x+y)f(y^2)+f(f(x))(x^2+3xy+y^2)$$ elde edilir. Demin bulduğumuz $xf(f(x))=f(x^2)$ eşitliginden $f(x^2)$ gördüğümüz yere $f(f(x))x$ yazarsak ve düzenlersek $(xy-x^2)f(f(y))=f(f(x))(x-1)$ elde ederiz. $y=1$ seçelim. Buradan $(x-x^2)f(f(1))=(x-1)f(f(x))$ elde ederiz. $x\neq 1$ olmak üzere $f(f(x))=-f(f(1))x$ elde ederiz. Dolayısı ile $a$ bir gerçel sayı olmak üzere $f(f(x))=ax$'dir. İlk denklemde yerine koyup duzenlersek $f^3(x+y)=a(x+y)^3$ ve $f(x+y)=\sqrt[3]{a}(x+y)$ ve $\sqrt[3]{a}.a=a$ elde edilir. Yani $a=0$ veya $a=1$'dir. İlk durumda ilk denklemde $P(1,2)$ ve $P(1,3)$'e bakılırsa $f(1)=0$ elde edilir. Yani tüm $x$ reel sayıları için $\boxed{f(x)=0}$'dır. İkincide ise $P(x,1-x)$'e bakılırsa ($x\neq 0,1$) $f(1)=1$ elde edilir. Yani tüm $x$ reel sayıları için $\boxed{f(x)=x}$'dir.
« Son Düzenleme: Ocak 25, 2025, 08:41:04 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal