Yazdığımız $(x,y)$ ikililerini $P(x,y)$ olarak gösterelim.
$$\begin{array}{lcl}
P(0,0) &:& f^3(0)=0 \Rightarrow f(0)=0 \\
P(x,0) &:& f^3(x)=xf(x^2) \\
P(0,x) &:& f^3(x)=x^2f(f(x))
\end{array}$$
Buradan her $x\neq 0$ $x$ reel sayısı için $xf(f(x))=f(x^2)$ elde ederiz. Ayrıca $f(0)=0$ olduğundan $x=0$ içinde durum sağlanır. Yani tüm reel sayılar için $xf(f(x))=f(x^2)$'dir. Denklemin sol tarafı için $P(x,y)=P(y,x)$ olduğu açıktır. Dolayısı ile sağ taraf içinde aynısı geçerlidir. Buradan $$(x+2y)f(x^2)+f(f(y))(x^2+3xy+y^2)=(2x+y)f(y^2)+f(f(x))(x^2+3xy+y^2)$$ elde edilir. Demin bulduğumuz $xf(f(x))=f(x^2)$ eşitliginden $f(x^2)$ gördüğümüz yere $f(f(x))x$ yazarsak ve düzenlersek $(xy-x^2)f(f(y))=f(f(x))(x-1)$ elde ederiz. $y=1$ seçelim. Buradan $(x-x^2)f(f(1))=(x-1)f(f(x))$ elde ederiz. $x\neq 1$ olmak üzere $f(f(x))=-f(f(1))x$ elde ederiz. Dolayısı ile $a$ bir gerçel sayı olmak üzere $f(f(x))=ax$'dir. İlk denklemde yerine koyup duzenlersek $f^3(x+y)=a(x+y)^3$ ve $f(x+y)=\sqrt[3]{a}(x+y)$ ve $\sqrt[3]{a}.a=a$ elde edilir. Yani $a=0$ veya $a=1$'dir. İlk durumda ilk denklemde $P(1,2)$ ve $P(1,3)$'e bakılırsa $f(1)=0$ elde edilir. Yani tüm $x$ reel sayıları için $\boxed{f(x)=0}$'dır. İkincide ise $P(x,1-x)$'e bakılırsa ($x\neq 0,1$) $f(1)=1$ elde edilir. Yani tüm $x$ reel sayıları için $\boxed{f(x)=x}$'dir.