Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 35

[geo]

$n+m-1$ tane birim kare, bir kenarı $n$, diğer kenarı $m$ kareden oluşan bir $L$ şeklinde dizilmiştir. Ayşe ve Betül, Ayşe'nin başladığı ve sırası gelen oyuncunun, bitişik olarak aynı kenar boyunca sıralanmış istediği pozitif sayıda kareyi aldığı bir oyun oynuyorlar. Son kareyi alan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun $(n,m)=(2003,2003)$, $(2002,2003)$, $(2003,3)$, $(2001,2003)$ değerleri için dört kez oynanıyorsa, Ayşe kaç kez oyunu kazanmayı garantileyebilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

Soruyu genel şekilde, tüm $(n, m)$ ikilileri için çözelim. $m=n=1$ ise, Ayşe tek kareyi almak zorunda olduğu için oyunu kaybediyor. Diğer durumlarda Ayşe oyunu kazanmayı garantileyebilir. Genelliği bozmadan $m \leq n$ kabul edebiliriz. $L$ harfinin $m$ kare içeren kenarına $M$, $n$ kenar içeren kenarına da $N$ diyelim. $m=1$ ise, Ayşe $n-1$ kareyi alıp Betül'ü geriye kalan tek kareyi almaya zorlar ve dolayısıyla oyunu kazanır. $m=2$ ise, Ayşe $N$ kenarındaki tüm kareleri (köşedekiyle birlikte) alarak Betül'ü $M$ kenarında kalan tek kareyi almaya zorlar ve yine kazanır. $m \geq 2$ ise, Ayşe $N$ kenarında köşeden başlayarak ilk $n-m+1$ kareyi alacak, dolayısıyla $N$ ve $M$ kenarlarının her birinde $m-1$ kare kalacak. Sonraki adımlarda:

(a) Betül'ün hamlesinden sonra kenarların birinde hiç kare kalmamışsa, Ayşe diğer kenarda bir kare bırakarak geriye kalan tüm kareleri alarak Betül'ü son kareyi almaya zorlayacak.

(b) Betül'ün hamlesinden sonra kenarlardan birinde bir kare kalmışsa, Ayşe diğer kenardakilerin tamamını alarak yine Betül'ü son kareyi almaya zorlayacak.

(c) Betül'ün hamlesinden sonra kenarların her birinde birden fazla sayıda kare kalmışsa, Ayşe daha çok kare olan kenardan fazla kareleri alarak kenarlardaki kare sayılarının eşit olmasını sağlayacak. Her hamleden sonra toplam kare sayısı azaldığından, birkaç adım sonra Betül kenarlardan birinde $0$ veya $1$ kare bırakmak zorunda kalacak ve Ayşe ilk iki durumdaki gibi oyunu kazanacak.

Kaynak: Sonlu Matematik Olimpiyat Soruları ve Çözümleri, Refail Alizade, Ünal Ufuktepe, 2006. Problem No: 8.19, Sayfa 217.