Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 12

[geo]

$\dfrac{4x^2}{1+4x^2}=y$, $\dfrac{4y^2}{1+4y^2}=z$, $\dfrac{4z^2}{1+4z^2}=x$ sistemini tam olarak kaç gerçel $(x,y,z)$ üçlüsü sağlar?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$x=0$ ise $(x,y,z)=(0,0,0)$  dır.

$x \neq 0$ ise

$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4z^2} + 1$

$\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4x^2} + 1$

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4y^2} + 1$

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4x^2} + 1 + \dfrac{1}{4y^2} + 1 + \dfrac{1}{4z^2} + 1$

$0 = \left (\dfrac{1}{2x}-1 \right )^2 + \left (\dfrac{1}{2y}-1 \right )^2 + \left (\dfrac{1}{2z}-1 \right )^2$

$2x = 2y = 2z = 1 \Rightarrow (x,y,z) = \left (\dfrac 12, \dfrac 12, \dfrac 12 \right )$.