Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 11

[geo]

$\text{ABRAKADABRA}$ kelimesinin harfleri, rastgele sıralandığında ilk $\text{A}$ harfinin ilk $\text{B}$ harfinden önce gelme olasılığı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 23
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 57
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 56
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 67
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

Tüm durumları tekrarlı permütasyonla iki farklı şekilde hesaplayalım:
Birincisi; $\dfrac{11!}{5! \cdot 2! \cdot 2!}$.
İkincisi; $A$ ve $B$ leri $C$ gibi düşünüp önce $CCCCCCCDKRR$ permütasyonunu hesaplayıp sonra çıkan değeri $AAAAABB$ permütasyonu ile çarpmak: $\dfrac{11!}{7! \cdot 2!} \cdot \dfrac{7!}{5!\cdot 2!} = \dfrac{11!}{5! \cdot 2! \cdot 2!}$.

Bu iki yolun aynı sonucu verdiğini gördükten sonra, ikinci yoldaki $AAAAABB$ permütasyonunu başta $A$ olmak üzere yeninden hesaplarsak $\dfrac{6!}{4!\cdot 2!}$ elde ederiz.

Bu durumda soruda sorulan olasılığı $$\dfrac{\dfrac{6!}{4!\cdot 2!} \cdot \dfrac{11!}{7! \cdot 2!} }{\dfrac{7!}{5!\cdot 2!} \cdot \dfrac{11!}{7! \cdot 2!} } = \dfrac{5}{7}$$ şeklinde yazabiliriz.