Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2014 Soru 2

[mehmetutku]

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $19^{4n}+4$ sayısının en az kaç farklı asal çarpanı olabileceğini belirleyiniz.

(Şahin Emrah)

[KereMath]

bu ifadeyi (19²ⁿ+2.19ⁿ+2)(19²ⁿ-2.19ⁿ+2) olarak çarpanlara ayırabiliriz.
mod 5 te bakacak olursak n çift ise 19²ⁿ+2.19ⁿ+2 n tek ise 19²ⁿ-2.19ⁿ+2 ifedesi 0 dır
ve bu iki sayı aralarında asaldır.Bir tanesinde 5 böleni olsun.Ve başka bir asal böleni olmasın bu 5 in kuvveti olması demektir
1.durum     (19ⁿ+1)²+1=5^k      Katalan konjektüründen bu mümkün değildir.
2.durum     (19ⁿ-1)²+1=5^k       Katalan konjektüründen bu mümkün değildir
Bundan dolayı sayılardan 5 in katı olan 5^k.p şeklinde diğeri de q^m şekinde olur ki buradan en az 3 asal böleni vardır.
3 için örnek n=1 olup  19⁴+4=5².13.401 dir
Katalan konjektürü:b veya d den ikisi de 1 den büyük ise a^b-c^d=1 denkleminin tek çözümü a=3 b=2 c=2 d=3 tür

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE): $x^4 + 4 $ ifadesi için iyi bilinen terim ekleme çıkarma yöntemiyle
$$ x^4 + 4 = (x^4 - 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2 +2)^2 - (2x)^2 = (x^2 - 2x +2)(x^2 +2x +2) \tag{1} $$
biçiminde çarpanlara ayırabiliriz. $x$ bir tek sayı iken $(x^2 - 2x +2, x^2 +2x +2) = (x^2 - 2x +2, 4x) = (x^2 - 2x +2, x) = (2, x) = 1$ olup $x^2 - 2x +2$ ve  $x^2 +2x +2$ aralarında asaldır.

$ x=19^n $ değerini $(1)$ eşitliğinde yazarsak, $A=19^{2n}+2\cdot 19^n +2$ ve $B=19^{2n}-2\cdot 19^n +2$ olmak üzere,

$$19^{4n}+4 = (19^{2n}+2\cdot 19^n +2)(19^{2n}- 2\cdot 19^n +2) = A\cdot B \tag{2}$$

olur. Böylece $19^{4n}+4$ sayısı, $A$ ve $B$ pozitif tam sayı çarpanlarına sahiptir. Yani en az $2$ farklı asal çarpan olduğunu anlarız. $A\geq 401$ ve $B \geq 325$ tir.

$\mod {5}$ te inceleme yaparsak,

$n$ çift iken $A \equiv 1 + 2\cdot (-1)^n +2 \equiv 0 \pmod{5}$ ve
$n$ tek iken $B \equiv 1 - 2\cdot (-1)^n +2 \equiv 0 \pmod{5}$

olur. $19^{4n}+4$ sayısının tam iki asal çarpanı olabilmesi için ya $A=5^m$, $B\neq 5$ bir asal ya da $B=5^m$, $A\neq 5$ bir asal biçiminde ($m\in \mathbb Z^+$) olmalıdır. Bunun mümkün olmadığını gösterelim.

1. Durum: $19^{2n}+2\cdot 19^n +2=5^m$ denkleminin pozitif tam sayılarda çözümlerini araştıralım. $\mod {19}$ da incelersek $5^m \equiv 2 \pmod{19}$ olur. Fakat

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
                       m & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
 5^m \pmod{19} & 5 & 6 & 11 & 17 & 9 & 7 & 16 & 4 & 1 \\ \hline

\end{array}
$$
olduğundan $5^m \not\equiv 2 \pmod{19}$ olur. Dolayısıyla $A$ nın $5$ ile tam bölünebildiği durumda, $5$ ten farklı bir asal çarpan daha içermelidir.

2. Durum: $19^{2n}-2\cdot 19^n +2=5^m$ denkleminin pozitif tam sayılarda çözümlerini araştıralım. $\mod {19}$ da incelersek yine $5^m \equiv 2 \pmod{19}$ olur. Yukarıdaki tabloya göre, $5^m \not\equiv 2 \pmod{19}$  olduğunu biliyoruz. Böylece $B$ nin $5$ ile tam bölünebildiği durumda, $5$ ten farklı bir asal çarpan daha içermelidir.

Her iki durumda da $19^{4n} +4$ sayısının en az $3$ farklı asal çarpanı olduğunu anlarız. $n=1$ için $19^4 + 4 = 401\cdot 325 = 5^2 \cdot 13 \cdot 401 $ örnek durumu vardır.