Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2008 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ dik üçgeninde $s(\widehat{C})=90^{\circ}$ olmak üzere, $D$ ile içteğet çemberinin merkezini gösterelim. $A$ ve $D$ den geçen doğrunun $CB$ kenarı ile kesişim noktası $N$ olsun. $|CA|+|AD|=|CB|$ ve $|CN|=2$ ise, $|NB|$ kaç birimdir?

[baris09]

Çözüm:$ABC$ dik üçgeninin yarıçevresine $u$ diyelim.Bu durumda $ABC$'nin iç teğet çemberinin yarıçapı $u-c$ ve $CEDF$ karesinin köşegen uzunluğu $(u-c)\sqrt2$ olur.$ACD$ üçgeninde kosinüs teoreminden;

\[
\left(\frac{(a+b-c)\sqrt2}{2}\right)^2+a^2-2a\left(\frac{(a+b-c)\sqrt2}{2}\right)\cos45^\circ=(a-b)^2
\]\[
\frac{(a+b-c)^2}{2}+a^2-2a\frac{(a+b-c)\sqrt2}{2}.\frac{\sqrt2}{2}=a^2-2ab+b^2
\]\[
\frac{a^2+b^2+c^2-2ac-2bc+2ab}{2}+a^2-a^2-ab+ac=a^2-2ab+b^2
\]$c^2$ yerine $a^2+b^2$  yazalım.
\[
\frac{2(a^2+b^2)-2ac-2bc+2ab}{2}-ab+ac=a^2-2ab+b^2
\]\[
a^2+b^2-ac-bc+ab-ab+ac=a^2-2ab+b^2
\]\[
c=2a
\]olur.Ayrıca iç açıortay teoreminden;
\[
\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{|CN|}{|NB|}
\]\[
\frac{a}{c}=\frac{2}{|NB|}
\]\[
\frac{1}{2}=\frac{2}{|NB|}
\]\[
|NB|=4
\]bulunur.

[Squidward]

$AC$'yi $A$ yönünde $|AD|$ kadar uzatıp uç noktaya $K$ diyelim. $KCB$ ikizkenar dik üçgendir. $\angle{DAB} = \alpha$ olsun. $\angle{BAC} = 2 \alpha$ $\angle{CBA} = 90-2\alpha$ olur. $\angle{KBC} = 45$ olacağından $\angle{KBA} = 2\alpha - 45$ bulunur. $BD$, $\angle{ABC}$'nin açıortayı olacağından $\angle{ABD} = 45-\alpha$ bulunur. $\angle KAD + \angle KBD = 180$ olduğundan $KADB$ kirişler dörtgenidir, $KAD$'nin ikizkenarlığı kullanılarak $\angle{KBD} = \angle{ABD} \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2} = 45-\alpha \Rightarrow \alpha = 30$ bulunur. $ABC$, $60-30-90$ üçgeni olduğu bulunur, kenar oranları kullanılarak açıortay teoreminden $|NB|=4$ bulunur.