Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 5

[ERhan ERdoğan]

$n\geq 2$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ verişmiş pozitif tam sayılar olsun. Aşağıdaki üç koşulu sağlayan $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}$ pozitif tam sayılarının bulunduğunu gösteriniz.

$\left ( A \right )$  Her $i=1,2,\ldots,n$ ,için $a_i \geq b_i$
$\left ( B \right )$  $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}$ sayılarının $n$ ile bölümünden kalanlar birbirinden farklıdır; ve
$\left ( C \right )$  $b_1 + \cdots + b_n \geq \left (\dfrac{n-1}{2}+\left \lfloor  \dfrac{a_1 + \cdots + a_n}{2} \right \rfloor  \right )$

(Burada $x$ gerçel sayısının tam degeri $\left \lfloor x \right \rfloor$ olarak gösterilmiştir, bu sayı $x$ den büyük olmayan en büyük tam sayıdır.)