Yukarıdaki çözümümde, $0\leq a, b, c, d \leq 2$ tam sayılarını denemeden de $39$ çözüm olduğunu gösterebiliyoruz.
$(n+15)(n+2010)=m^2$ denklemini $4$ ile genişlettikten sonra, $(2n+2m+2025)(2n-2m+2025)=1995^2=3^25^27^219^2$ olur.
$$2n+2m+2025 =3^a5^b7^c19^d$$
$$2n-2m+2025 = 3^{2-a}5^{2-b}7^{2-c}19^{2-d}$$
denklem sisteminden, $n=\dfrac{1}{4}\left( 3^a5^b7^c19^d + 3^{2-a}5^{2-b}7^{2-c}19^{2-d} -4050\right)$ olmaktadır.
$\mod{4}$ te, $5^b \equiv 1 \pmod{4}$ olur. $3^a \equiv 7^c \equiv 19^d \equiv 1, -1\pmod{4}$ olmaktadır.
$T(a,c,d)=3^a7^c19^d + 3^{2-a}7^{2-c}19^{2-d}$ dersek $T$ nin tam sayı olması için; $a \in \{0,2\}$ iken $c,d \in \{0,2\}$ olur. $8$ tane çözüm vardır. $a=1$ iken $(c,d)=(1,0), (1,2), (0,1), (2,1), (1,1)$ olabilir. $5$ tane çözüm vardır. $b\in \{0,1,2\}$ olabildiğinden $3(8+5)=39$ tane $(a,b,c,d)$ dörtlüsü seçilebilir.
Yani $39$ tane $n$ pozitif tam sayısı bulunur.
