Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 32

[ERhan ERdoğan]

$8\times 8$ bir satranç tahtasının birim karelerinden her birinin merkezine $0$ ve $1$ sayılarından birini yazıyoruz. Her satır, her sütun ve iki köşegenden birine paralel olup birim karelerin merkezlerinden geçen her doğru üstündeki sayıların toplamları çift ise, tahtaya yazılı bütün sayıların toplamı en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 32
\qquad\textbf{b)}\ 48
\qquad\textbf{c)}\ 52
\qquad\textbf{d)}\ 56
\qquad\textbf{e)}\ 64
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

Kesikli çizgilerle gösterilen köşegenlere paralel doğruların geçtiği karelerin sayısı $1,3,5,7$ şeklinde tek sayılardır. Örneğin $5$ karenin merkezinden geçen bir doğruyu göz önüne alalım. Bu karelerdeki sayıların toplamının çift sayı olması için karelerden en az birinde $0$ yazmalıdır. Bu yolla 16 tane doğru için, içine $0$ yazılan en az $16$ kare bulunur. Dolayısıyla tüm karelerdeki sayıların toplamı $\leq 64-16=48$ dir. Toplamın $48$ e eşit olduğu maksimum duruma örnek vardır. En uzun iki köşegendeki karelere $0$ yazmak yeterlidir.