Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 10

[geo]

$T = \dfrac{1}{1\sqrt {2}+ 2\sqrt {1}} + \dfrac{1}{2\sqrt {3}+ 3\sqrt {2}} + \dfrac{1}{3\sqrt {2}+ 4\sqrt {3}} + \dots + \dfrac{1}{1996\sqrt {1997}+ 1997\sqrt {1996}}$ toplamı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ \dfrac {43}{44} < T < \dfrac {44}{45}$

$\textbf{b)}\ \dfrac {43}{176} < T < \dfrac {43}{88}$

$\textbf{c)}\ T = \dfrac {1995}{1996 \cdot 1997}$

$\textbf{d)}\ T = \dfrac {1996}{1997 \cdot 1998}$

$\textbf{e)}\ \text {Hiçbiri}$

[taftazani44]

Yanıt: $\boxed {A}$

$T = \sum \limits_{i=1}^{1996} \dfrac {1}{i\sqrt {(i+1)} + (i+1)\sqrt i }$ şeklinde yazılabilir.

$ \begin{array}{lcl}

\dfrac {1}{i\sqrt {(i+1)} + (i+1)\sqrt i } &=&
\dfrac {(i+1)\sqrt i - i\sqrt {(i+1)} }{\left ((i+1)\sqrt i + i\sqrt {(i+1)} \right) \left ((i+1)\sqrt i - i\sqrt {(i+1)} \right)} \\
&=& \dfrac{(i+1)\sqrt i - i\sqrt {(i+1)} }{(i+1)^2i - i^2(i+1)} \\
&=& \dfrac{(i+1)\sqrt i - i\sqrt {(i+1)} }{(i+1)i} \\
&=& \dfrac 1{\sqrt i} - \dfrac {1}{\sqrt {i+1}}

\end{array}
$

Bu durumda $T = 1-\dfrac{1}{\sqrt{1997}}$ olur.

$44^{2}<1997<45^{2}$  olduğundan, $\dfrac{1}{45^2}<\dfrac{1}{1997}<\dfrac{1}{44^2}$

$-$ ile çarptıktan sonra $1$ eklersek, $1-\dfrac{1}{44}<T<1-\dfrac{1}{45}$ ve $\dfrac{43}{44}<T<\dfrac{44}{45}$ bulunur.