Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1983 Soru 2

[geo]

Eş olmayan, sırasıyla $O_1$ ve $O_2$ merkezli düzlemdeş $C_1$ ve $C_2$ çemberlerinin kesiştiği iki farklı noktadan biri $A$ olsun. Bu çemberlerin ortak teğetlerinden biri $C_1$ e $P_1$ de, $C_2$ ye $P_2$ de; diğeri de $C_1$ e $Q_1$ de, $C_2$ ye $Q_2$ de dokunmaktadır. $M_1$, $P_1Q_1$ in orta noktası; $M_2$, $P_2Q_2$ nin orta noktası olsun. $\angle O_1AO_2 = \angle M_1AM_2$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

İki çemberin diğer kesişimi $B$ olsun. $P_1P_2$, $Q_1Q_2$, $O_1O_2$ doğruları $Q$ da kesişsin. $AB$ doğrusu, $P_1P_2$ yi $P$ de kessin.
Açık şekilde, $P_1Q_1$ ile $O_1O_2$ doğruları birbirlerine $M_1$ de dik; $P_2Q_2$ ile $O_1O_2$ de birbirlerine $M_2$ de diktir.
$\triangle O_1P_1M_1 \sim \triangle O_2P_2M_2$ olduğu için $$\dfrac{O_1P_1}{O_1M_1} = \dfrac{O_2P_2}{O_2M_2} \Rightarrow \dfrac{O_1A}{O_1M_1} = \dfrac{O_2A}{O_2M_2} \tag{*}$$ $P$ noktası kuvvet ekseni üzerinde olduğu için $PP_1 = PP_2$, dolayısıyla da $P_1P_2M_2M_1$ dik yamuğunda, $AB$ doğrusu orta taban olacaktır. Böylece, $M_1A = AM_2$ ve $\angle AM_1O_1 = \angle AM_2O_1$ olmuş oldu.
$O_1O_2$ üzerinde bir $M$ noktası, $\triangle AM_1O_1 \cong \triangle AM_2M$ olacak şekilde alınsın. $AM=AO_1$ ve $MM_2 = M_1O_1$ dir. Bu durumda, $(*)$ dan dolayı $$\dfrac{AM}{MM_2} = \dfrac{O_2A}{O_2M_2}$$ olur. Bu da, $AM_2$ nin, $\angle MAO_2$ nin açıortayı olduğu anlamına gelir. Bu durumda, $$\angle O_2AM_2 = \angle M_2AM= \angle M_1AO_1 \Longrightarrow \angle M_1AM_2 = \angle O_1AO_2$$ olur.