2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 9. Sınıf Soru 04

[matematikolimpiyati]

$x>y$ olmak üzere, $$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}=\dfrac{34}{3}$$ ise $\dfrac{x+y}{x-y}$ oranının değeri kaç olur?

$\textbf{a)}\ \sqrt{\dfrac{17}{3}}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{\dfrac{8}{3}}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{\dfrac{5}{2}}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{\dfrac{10}{7}}  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{\dfrac{17}{2}}$

[diktendik]

Anlamadığım bir nokta var. Farzedelim ki bir $(x,y)=(a,b)$ ikilisi için cevap $z$ olsun. Sorudaki şarttan $a>b$'dir. $(x,y)=(-b,-a)$ ikilisini ele alalım. Yine ilk denklemde $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ elde edilir. $-b>-a$ olur. $(-b,-a)$ bu koşuluda sağlar. $\frac{a+b}{a-b}=z$ ise $\frac{(-a)+(-b)}{(-b)-(-a)}=-z$ olmasıda sağlanabilir. Yani sayıların ikiside pozitiftir vs. Gibi bir sınırlama olmadan bulunan her cevap için negatifide mümkün kılınıyor diye düşünüyorum. Cevabı $-\sqrt{\frac{10}{7}}$ yapan durum : $(x,y)=(\frac{-17+2\sqrt{70}}{3},-1)$