2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 9. Sınıf Soru 01

[matematikolimpiyati]

İki asal sayının toplamı olarak yazılabilen asal sayıların kümesi $A$, iki asal sayının farkı olarak yazılabilen asal sayıların kümesi de $B$ olsun. $A \cap B$ kümesi kaç elemanlıdır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz}  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{A}$

Toplanacak iki asal sayıda tek olursa toplam çift olacağından sayı asal olamaz. Toplanacak ve çıkarılacak sayılardan biri $2$'dir. Diğer sayı $p$ olsun. $p,p+2,p-2$ sayıları asal olmalı. $p-2>3$ ise $p-2≡1\pmod3$ veya $p-2≡2\pmod3$ olduğunu bildiğimizden diğer iki sayıdan biri mutlaka $3$'e bölünecektir ve $p-2>3$ olduğundan asallık ihlal edilecektir. $p-2\leq3$ olur. İncelenirse yalnızca $p=5$ durumu sağlar.