2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 11. Sınıf Soru 24

[matematikolimpiyati]

$a_1,a_2,...,a_n$ sayıları $-1,0,1,2$ tam sayı değerlerinden herhangi birini alabilen sayılar olup,
$$\begin{array}{cc}a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 61 \\
a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 = 143 \end{array}$$ eşitliklerini sağlıyorsa $S=a_1^3+a_2^3+ \cdots + a_n^3$ ifadesi en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 265  \qquad\textbf{b)}\ 230  \qquad\textbf{c)}\ 250  \qquad\textbf{d)}\ 270  \qquad\textbf{e)}\ 245$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {A}$

Soruda $0$ sayısının hiçbir etkisi yoktur. Hiç $0$ koymayacağız. $x$ adet $2$, $y$ adet $1$, $z$ adet $-1$ olsun. İki denklemden $$2x+y-z=61 \hspace{2mm} \text{ve} \hspace{2mm} 4x+y+z=143$$ elde edilir. Taraf tarafa çıkarma ve toplamalarla $$3x+y=102 \hspace{2mm} \text{ve} \hspace{2mm} x+z=41$$ elde edilir. İlk denklemden $x$ en fazla $34$ olabilir. $x=34,y=0,z=7$ için küplü toplam $265$ olur. Bundan sonrada $x$'in her azalışında toplam $-8+3-1=-6$ kadar etkilenir. Dolayısıyla cevap $265$ olur.