2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 15

[matematikolimpiyati]

Bir kasabadaki telefon numaraları $6$ rakamdan oluşmakta ve aşağıdaki üç kurala uygun olması gerekmektedir:

     $\blacksquare$ Bir telefon numarasında en az bir tane sıfırdan farklı rakam olmalıdır.

     $\blacksquare$ İlk üç rakamın toplamı ile son üç rakamın toplamı eşittir.

     $\blacksquare$ Tek sırada olanların toplamıyla, çift sırada olanların toplamı birbirine eşittir. Örneğin, $$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline 0 & 5 & 4 & 1 & 5 & 3 \\ \hline \end{array}$$ bu kasabadaki telefon numaralarından biridir. $$0+4+5=5+1+3$$ eşitliğinin sağlandığını görebilirsiniz. Bu kasabada birbirinden farklı en fazla kaç telefon numarası olabilir?

$\textbf{a)}\ 6400  \qquad\textbf{b)}\ 6440  \qquad\textbf{c)}\ 6699  \qquad\textbf{d)}\ 6644  \qquad\textbf{e)}\ 6624$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{C}$

Öncelikle tüm satırdaki sayıların toplamı $2n$ ise ilk üç sayının toplamı $n$'dir. Aynı zamanda $1,3,5.$ sıradaki sayıların toplamı $n$'dir. Yani hem $1,2,3$ sıralarındaki sayıların toplamı $n$ hemde $1,3,5$ sıralarındaki sayıların toplamı $n$'dir. Buradan anlaşılır ki $2$ ve $5$. Sıradaki sayılar aynıdır. Bu sayı $10$ farklı şekilde seçilebilir.
Şimdi $1,3,4,6$ sıralarındaki sayılara bakalım. $1,3$ ve $4,6$ sıralarının kendi içlerinde toplamları birbirine eşit olduğunu biliyoruz. Bu toplumların $9,9$ seçeneğinden en fazla $18$ olduğu açıktır. Tek tek sayalım.
•$18$ ise tek durum $9+9$'dur. Buradan iki tarafada $1$'er durum düşer total $1\cdot 1=1$ durum gelir.
•$17$ ise $9+8$ biçiminde yazılabilir. $(9,8)$ ve $(8,9)$ şeklinde yerleşebileceğinden iki kısma $2$'şer durum düşer ve total $2\cdot 2=4$ durum oluşur.
•$16$ ise $8+8,9+7$ durumları oluşur ve $(8,8),(9,7),(7,9)$ olan üçer durum oluşur ve total $3\cdot3=9$ durum oluşur.
$10$ sayısına kadar terimler artan tamkareler şeklindedir:
Buraya kadar oluşan toplam $\frac{9\cdot {10} \cdot {19}}{6}=285$ olur. $9$ için sayı $9+0,8+1,\cdots,5+4$ şekillerine yazılabilir ve bu iki taraf için farklı sıralama durumuyla $10$'ar duruma denktir. $100$ durum gelir. Benzer yollarla $1$'e kadar azalan tamkareler elde edilir. Bu kısım için toplam $\frac{10\cdot{11}\cdot{21}}{6}=385$ olur. Deminki sayıyla bunun toplamı $385+285=670$'dir. Ortadaki sayı için $10$ durum olduğunu söylemiştik. Total $6700$ durum gelir. Fakat saydığımız tüm durumlarda $(0,0,0,0,0,0)$ altılısı $1$ kez geçtiğinden cevap $6699$ olur.