2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 08

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki şekilde verilen konveks $ABCD$ dörtgeninde $m(\angle{BCD})=90^{\circ}$, $|AB|=|AC|$ ve $AC \cap BD =K$'dır. $AKD$ ve $BCK$ üçgenlerinin alanları sırasıyla $10 \ cm^2$ ve $25 \ cm^2$ olduğuna göre, $ABCD$ dörtgeninin alanı kaç $cm^2$'dir?



$\textbf{a)}\ 55  \qquad\textbf{b)}\ 60  \qquad\textbf{c)}\ 70  \qquad\textbf{d)}\ 105  \qquad\textbf{e)}\ 90$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{E}$

$A$'dan $BC$'ye inen dikme ayağı $E$, bu doğrunun $BK$ ile kesişimi $F$ olsun. $BFC$ ücgeni ikizkenar olduğundan $CF$, $BCD$ dik üçgeninde kenarortaydır. $A(BCF)=S$ olsun. $AE||CD$ olduğundan $ADCF$ yamuktur. Yamukta köşegenlerin oluşturduğu ücgenlerin alan eşitliği kuralından $$A(CKF)=A(ADK)=25-S=10 \Rightarrow S=15$$ bulunur. Buradan $A(BCD)=30$ ve $A(DKC)=5$ bulunur. Aynı yamukta köşegen-alan kuralından $$A(AKD)\cdot A(KCF)=A(AKF)\cdot A(KDC) \Rightarrow 5\cdot A(AKF)=100 \Rightarrow A(AKF)=20$$ bulunur. Ayrıca ikizkenar ücgende $A(AFC)=A(AFB)$ olduğundan $A(AFB)=30$ bulunur. Tüm alanlar toplanınca cevap $90$ bulunur.

[geo]

$BA$ ile $CD$, $L$ de kesişsin. $\triangle BLC$ bir dik üçgen ve $A$ bu dik üçgenin hipotenüsünün orta noktasıdır.
$[ABK]=S$ dersek $[ADL]=[ABD]=S+10$.
$[ABC]=[ACL]=S+25=S+20+[DKC] \Longrightarrow [DKC]=5$.
$5S=10\cdot 25\Longrightarrow S=50$ ve $[ABCD]=50+5+10+25=90$