2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 06

[matematikolimpiyati]

$x$ sayısı pozitif bir tam sayı olmak üzere,

$x^x=2^{24} \cdot 3^x$ olduğuna göre, $\left( \dfrac{x}{4} \right) ^3$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12  \qquad\textbf{b)}\ 27  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 81  \qquad\textbf{e)}\ 64$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{B}$

$3^x$'i sağ tarafa alıp ifadeyi $(\frac{x}{3})^x=2^{24}=4^{12}$ olarak yazarsak $x=12$ bulunur. İfadede yerine yazarsak cevap $27$ bulunur.

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$x$ bir pozitif tamsayı olarak verildiğinden, ve $x^x$'in tüm asal bölenleri $2$ ve $3$ olduğundan $x=2^a\cdot 3^b$ olarak yazabiliriz. $$(2^a\cdot 3^b)^{x}=2^{24}\cdot 3^{x}\implies 2^{ax}=2^{24}\text{  ve  }3^{bx}=3^x$$ olacaktır. Buradan $ax=24$ ve $b=1$ bulunur. $x=3\cdot 2^a$ olduğundan $a\cdot 2^a=8$'dir. Buradan da $a=2$ elde edilir. Yani $x=12$'dir. Bizden istenilen değer ise $27$ bulunur.