2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 11

[matematikolimpiyati]

$10$ tane birbirinin aynısı matematik kitabı, $9$ tane birbirinin aynısı fizik kitabı ve $1$ tane kimya kitabı bir rafa herhangi komşu iki kitap aynı dersin kitabı olmayacak şekilde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

$\textbf{a)}\ 38  \qquad\textbf{b)}\ 36  \qquad\textbf{c)}\ 45  \qquad\textbf{d)}\ 48  \qquad\textbf{e)}\ 35$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$10$ tane matematik kitabını birbirinden ayırmak için aralarına en az $9$ tane kitap yerleştirmek gerekir. Zaten yerleştirebileceğimiz $10$ kitap vardır.

Eğer aralarına $9$ kitap yerleştireceksek, bu kitaplar ya tamamen fizik kitabıdır, ya da bir tanesi kimyadır. Fizik kitabı durumunda kimya kitabı ya en başa, ya da en sona gelmelidir, $2$ tane dizilim buradan gelir. Eğer aralarından biri kimya kitabıysa, bu kitabın gelebileceği $9$ boşluk vardır ve boşta kalan fizik kitabının yerleşebileceği $2$ yer vardır (baş veya son). Buradan da $18$ tane dizilim elde edilir.

Eğer matematik kitaplarının aralarına $10$ tane kitap yerleşecekse, $9$ aralıktan birinde bir fizik, bir kimya kitabı olmalıdır. Bu kitaplar da kendi arasında $2$ şekilde sıralanabilir. Dolayısıyla, bu durumdan da $18$ tane dizilim elde edilir.

Toplamda $2+18+18=38$ tane dizilim vardır.