2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 12

[matematikolimpiyati]

$x$ ve $y$ reel sayıları için

$\sqrt{x \sqrt[5]{y}}=6^6$ ve $\sqrt[3]{y \sqrt[5]{x}}=4^4$

eşitlikleri sağlanıyorsa $x \cdot y$ tam sayısının kaç pozitif tam sayı böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 321  \qquad\textbf{b)}\ 300  \qquad\textbf{c)}\ 360  \qquad\textbf{d)}\ 341  \qquad\textbf{e)}\ 310$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Verilen eşitlikleri $x^ay^b$ şeklinde yazalım, $$x^{1/2}\cdot y^{1/10}=6^6\implies x^5y=6^{60}$$ $$y^{1/3}\cdot x^{1/15}=2^8\implies xy^5=2^{120}$$ elde edilir. Bu iki eşitliği taraf tarafa çarparsak, $$(xy)^6=2^{180}\cdot 3^{60}\implies xy=2^{30}\cdot 3^{10}$$ elde edilir. Pozitif bölenlerinin sayısı ise $(30+1)(10+1)=341$ olacaktır.