2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 13

[matematikolimpiyati]

$ABC$ üçgeninde $|AB|=5$, $|BC|=6$ ve $|AC|=7$'dir. $A$ ve $B$ köşelerinden çizilen yüksekliklerin ayakları sırasıyla $D$ ve $E$ olsun. Buna göre, $CDE$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{25\sqrt6}{24}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{18\sqrt6}{11}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac52  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac73  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{4\sqrt6}{3}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{A}$

Heron formülunden $A(ABC)=6\sqrt6$ elde edilir. Çevrel yarıçapın kullanıldığı alan formülünden $ABC$ nin çevrel yarıçapının $\frac{35\sqrt6}{24}$ olduğu bulunur. Alan $6\sqrt6$ olduğundan $|AD|=2\sqrt6$ ve $ADC$ üçgeninde pisagordan $|DC|=5$ elde edilir. $\triangle {CDE} \sim \triangle {CAB}$ olduğunu biliyoruz. Buradan $\frac{R}{\frac{35\sqrt6}{24}}=\frac{5}{7}$ ve $R=\frac{25\sqrt6}{24}$ elde edilir.

Not:
Sorunun benzeri tübitak $2023$ $13.$ soruda çıkmıştı.