2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 14

[matematikolimpiyati]

$x<y<z$ olmak üzere,$$x+x \cdot y+x \cdot y \cdot z=1111$$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y,z)$ pozitif tam sayı üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 10$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Öncelikle $x\mid 1111$ olduğunu görelim. Ayrıca $$1111=x+xy+xyz>x+x^2+x^3$$ olduğundan $x\leq 10$ olmalıdır. Dolayısıyla, $x=1$ olmak zorundadır. Yerine yazarsak, $$1+y+yz=1111\implies y(z+1)=1110$$ elde edilir. $y\mid 1110$ olmalıdır ve $$1110=y(z+1)>y(y+1)\implies y\leq 32$$ bulunur. $1110$'nın bu şartı sağlayan, $1$'den büyük her pozitif böleni için $z>y>x$ sağlanacağından, bu $y$'lerin sayısı bize aradığımız üçlülerin sayısını verecektir. $1110$'nın $32$'den küçük veya eşit, $1$'den büyük bölenleri $2,3,5,6,10,15,30$'dır. Toplam $7$ tane üçlü vardır.