2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 16

[matematikolimpiyati]

$x,y \in \mathbb R$ olmak üzere, $x^2+y^2=\dfrac32$ ise $x+y-xy$ değeri en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ \dfrac34  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac32  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac54  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac94$

[diktendik]

Yanıt: $\boxed{D}$

İlk denklemde ifadeyi $(x+y)^2=\frac{3}{2}+2xy$ olarak yazabiliriz. Buradan $x+y=u$ dersek $xy=\frac{2u^2-3}{4}$ olarak bulunur. Soruda bizden maximumu istenen ifade $u-\frac{2u^2-3}{4}$ olur. Türev alıp sıfıra eşitlersek $u=1$ elde edilir. İfade başkatsayısı negatif $2.$ dereceden denklem olduğundan bu değer için maximum elde edilir. $u-\frac{2u^2-3}{4}$ ifadesinde yerine koyarsak $\frac{5}{4}$ değeri elde edilir. $x+y=1$ ve $x^2+y^2=\frac{3}{2}$ denkleminin reel çözümleri vardır.

Not:
Türev almak yerinde $\frac{-2u^2+4u+3}{4}$ parabolünün tepe noktasının $x=1$ apsisli nokta olması kullanılabilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$x+y=u$ olmak üzere $u$'lu ifadenin maksimumu ($u\geq 2,u\leq 0$ durumlarında ifadenin maksimum olmayacağı açıktır.) AGO ile de
$$\dfrac{4u-2u^2+3}{4}=\dfrac{2u\left(2-u\right)+3}{4}\overbrace{\leq}^{AGO} \dfrac{2+3}{4}=\dfrac{5}{4}$$
şeklinde rahatlıkla elde edilebilirdi ve eşitlik durumu $u=2-u\Longleftrightarrow u=1$ iken sağlanır. Kaan arkadaşımızın da dediği gibi $x+y=1$ ve $x^2+y^2=\dfrac{3}{2}$ eşitliklerinin reel çözümlerinin bulunup bulunmaması çözümün bütünlüğü için önemlidir.