2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 18

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki şekilde verilen $AB$ çaplı yarım çemberde $AB$ yayının orta noktası $C$'dir. $BC$ yayının üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $CD \cap AB = E$, $|DE|=6$, $|CD|=4$ olduğuna göre, $|BE|=x$ kaçtır?



$\textbf{a)}\ 2\sqrt5  \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt5  \qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt2  \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt6$

[diktendik]

 Yanıt : $\boxed{A}$

Yarım çemberin merkezi $M$ olsun. $\angle {CMB}=90^\circ$ olduğu açıktır. $M$'den $[CD]$'na inen dikme ayağı $P$ olmak üzere, $|PC|=|PD|=2$ olduğunu biliyoruz. Öklitten $$|MP|^2=2\cdot8=16 \Rightarrow |MP|=4$$ $PDM$ üçgeninde pisagordan yarıçap $2\sqrt5$ elde edilir. Benzerlikten $|ME|=4\sqrt5$ ve $|BE|=2\sqrt5$ elde edilir.