2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 21

[matematikolimpiyati]

$m$ ve $n$ pozitif tam sayıları için

     $\sqrt[m]{7} \sqrt[n]{49}=\sqrt[7]{7}$

eşitliğini sağlayan tüm $n$ değerlerinin toplamını bulunuz.

Not : $p,q \in \mathbb Z^+$ olmak üzere $\sqrt[p]{a^q}$ ifadesi üslü olarak $a^{q/p}$ biçiminde yazılabilir.

$\textbf{a)}\ 248  \qquad\textbf{b)}\ 255  \qquad\textbf{c)}\ 232  \qquad\textbf{d)}\ 208  \qquad\textbf{e)}\ 108$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Verilen eşitlikte her tarafın $7$ tabanında logaritmasını alırsak $$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{7}$$ bulunur. Eşitliği düzenlersek, $$7(n+2m)=mn\implies (m-7)(n-14)=98$$ elde edilir. $n-14$ sayısı $98$'in böleni olduğundan $n-14\in \{1,2,7,14,49,98\}$ olabilir. $98$'in negatif bir böleni olamaz çünkü bu durumda $-14$'den büyük bir negatif bölen olmalıdır ancak $m-7$ ise $-7$'den küçük bir negatif bölen olur. Bu da $m$'nin pozitif olmasıyla çelişir. Sonuç olarak, $n=15,16,21,28,63,112$ olabilir. Bu değerlerin toplamı $255$'dir.

[Burhanettin IRMAK]

Arkadaşlar bir üçgende yükseklik, kenarortay kesişim noktaları ile o üçgenin çevrel çemberin merkezi doğrusal ispatı var mı?