2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 22

[matematikolimpiyati]

$ABC$ eşkenar üçgeninin sırasıyla $AC$ ve $BC$ kenarları üzerinde $F$ ve $E$ noktaları; $3|EC|=|FC|=6$ olacak şekilde alınıyor. $EF \cap AB = D$ ve $BF \perp FE$ olduğuna göre $|AD|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 14  \qquad\textbf{e)}\ 12$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{E}$

$F$'den $BC$'ye inen dikme ayağı $T$ olsun. $30-60-90$'dan $|FT|=3\sqrt3,|ET|=1$'dir. $BEF$ üçgeninde öklitten $|BT|=27$'dir. Eşkenar üçgenin bir kenarının 30 olduğu görülür, buradan $|AF|=24$ elde edilir. $A$'dan geçip $BC$'ye paralel olan doğrunun $DE$ ile kesişimi $R$ olsun. Kelebek benzerliginden $|AR|=8$ olur. $DBE$ üçgeninde $AR$ paraleline göre benzerlikten $$\frac{|AD|}{|AD|+30}=\frac{8}{28}$$ ve $|AD|=12$ olur.