2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 24

[matematikolimpiyati]

$|AB|=2|BC|$ olan $ABCD$ dikdörtgeninin iç kısmına $AB$ ve $BC$ çaplı yarım çemberler çizilmiştir. Çemberler $B$'den farklı bir $F$ noktasında kesişmektedir. $F$ noktasının $DC$ kenarına olan uzaklığı $3 \ cm$ olduğuna göre, $ABCD$ dikdörtgeninin alanı kaç $cm^2$ dir?

$\textbf{a)}\ 180  \qquad\textbf{b)}\ 210  \qquad\textbf{c)}\ 450  \qquad\textbf{d)}\ 360  \qquad\textbf{e)}\ 270$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{C}$

Çapı gören çevre açıların $90^\circ$ olmasından $D,F,B$ doğrusaldır. $F$'den $AD$'ye inen dikme ayağı $X$ olsun. $|DX|=3$'tür.  $\triangle {DXF} \sim \triangle {DAB}$ benzerliğinden $|FX|=6$ ve $AFD$ üçgeninde öklitten $|AX|=12$'dir. $|AD|=15$ ve $|AB|=30$ olduğundan alan $450$ olur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{C}$

$F$  noktasının sırasıyla $AB$  ve $BC$  üzerine izdüşümü $P$  ve $Q$  noktaları olsun. $FQ=x$  için Öklit Bağıntısından $BQ=x^2/3$  ve $AP=x^3/9$  olur. $AB=2\cdot BC$  ise
$$\dfrac{x^3}{9}+x=2\left(\dfrac{x^2}{3}+3\right)\Longleftrightarrow x=6$$
belirlenir. Dolayısıyla $[ABCD]=x\left(\dfrac{x^2}{9}+1\right)\left(\dfrac{x^2}{3}+3\right)=450$  olur.