2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 25

[matematikolimpiyati]

$a_1,a_2,a_3,...,a_{100}$ pozitif tam sayılardan oluşan bir aritmetik dizidir.

       $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=133$

$a_{a_1}+a_{a_2}+a_{a_3}+a_{a_4}+a_{a_5}+a_{a_6}+a_{a_7}=553$

olduğuna göre $a_{100}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 210  \qquad\textbf{b)}\ 403  \qquad\textbf{c)}\ 440  \qquad\textbf{d)}\ 506  \qquad\textbf{e)}\ 434$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{B}$

$(a_i)$ bir aritmetik dizi olduğundan her $n$ için $a_n=(n-1)d+a_1$ olacak şekilde bir sabit $d$ vardır. Dolayısıyla, $$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=7a_1+21d=133\implies a_1+3d=19$$ bulunur. İkinci toplam için $a_{a_n}=(a_n-1)d+a_1=((n-1)d+a_1-1)d+a_1=(n-1)d^2+a_1(d+1)-d$ olacağından $$\sum_{k=1}^{7}a_{a_k}=\sum_{k=1}^{7}\left[(k-1)d^2+a_1(d+1)-d\right]=21d^2+7a_1(d+1)-7d=553$$ $$\implies 3d^2+a_1(d+1)-d=79$$ bulunur. Son bulduğumuz eşitlikte $a_1=19-3d$ yazarsak, $$3d^2+(19-3d)(d+1)-d=79\implies 15(d-4)=0\implies d=4$$ bulunur ve $a_1=19-3d=7$ elde edilir.

Bizden istenen ise $a_{100}=99d+a_1=403$'dür.