2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 17

[matematikolimpiyati]

$Q(x)$ tam sayı noktalarda tam sayı değer alan bir polinom olmak üzere,
$$P(x)=3x-3+(x-1)(x-2)Q(x)$$
biçiminde tanımlanıyor. Bir $n>3$ tam sayısı için $P(n)=n!$ eşitliğini sağlayan derecesi en küçük $P(x)$ polinomu için $P(7)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 248  \qquad\textbf{b)}\ 216  \qquad\textbf{c)}\ 120  \qquad\textbf{d)}\ 180  \qquad\textbf{e)}\ 288$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Eğer $Q$, sıfır polinomuysa $P(x)=3x-3$ bulunur. $P(n)=3(n-1)=n!$ denkleminin $n>3$ için çözümü yoktur çünkü $3=n(n-2)!$ olacaktır ve sağ taraf $3$'den daha büyüktür. $Q$, sıfır polinomu değilse, derecesine $n$ dersek, $P$'nin derecesi de $n+2$ olacaktır. Dolayısıyla, $Q$'nun derecesini olabildiğince düşük tutmalıyız.

$P(n)=n!$ denklemine bakalım, $$n!=3(n-1)+(n-1)(n-2)Q(n)\implies n(n-2)(n-3)!=3+(n-2)Q(n)$$ olacaktır. Buradan $n-2\mid 3$ bulunur. $n>3$ olduğundan bunu sağlayan tek $n$ değeri $5$'dir. Dolayısıyla, $P(5)=120$ olmalıdır. Yerine yazarsak, $$P(5)=12+12Q(5)\implies Q(5)=9$$ bulunur. Eğer $Q$'yu sabit polinom seçersek, $P$ ikinci dereceden olacaktır ve $$P(x)=3x-3+9(x-1)(x-2)=9x^2-24x+15$$ bulunur. $P(7)=288$ olacaktır.