2024 Antalya Matematik Olimpiyatı 10. Sınıf Soru 10

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$x^4+x+1=0$  denkleminin kökleri $a,b,c,d$ olmak üzere
$$S=\dfrac{a^2}{a^3+1}+\dfrac{b^2}{b^3+1}+\dfrac{c^2}{c^3+1}+\dfrac{d^2}{d^3+1}$$
toplamını bulunuz.

$\textbf{a)}\ 1  \qquad \qquad \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad  \qquad\qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad \qquad \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\qquad \qquad\textbf{e)}\ 9$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Cevap: $\boxed{B}$

Daha genel bir biçimde $n\geq 2$ için $x^n+x+1=0$ denkleminin kökleri $x_1,x_2,\dots,x_n$ olmak üzere

$$S=\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{x_{k}^{n-2}}{x_k^{n-1}+1}}=n-1$$
olduğunu gösterelim. Öncelikle ifadeyi düzenlemek amaçlı denklemle uğraşırsak ($0$'ın kök olmaması sonucu)
$$x^n+x+1=0 \Longleftrightarrow x^{n-1}+1=-\dfrac{1}{x}$$
olarak elde edebiliriz. Bunu toplamdaki her kesrin paydasına uyguladığımızda
$$S=\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{x_{k}^{n-2}}{x_k^{n-1}+1}}=\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{x_{k}^{n-2}}{-\dfrac{1}{x_k}}}=-\sum_{k=1}^{n}{x_k^{n-1}}$$
olarak elde edilebilir. Fakat, az önce denklemden $x^{n-1}+1=-\dfrac{1}{x}$ olarak elde etmiştik. Yani $x^{n-1}=-1-\dfrac{1}{x}$ tir. Bunu kaldığımız yerde koyarsak
$$S=-\sum_{k=1}^{n}{x_k^{n-1}}=n+\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{x_k}}$$
olarak elde edebiliriz. Yani $\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{x_k}}=-1$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. Bu ise kök katsayı ilişkisinden başkatsayımız $a_n$ ve sabit terimimiz $a_0$ olmak üzere
$$\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{x_k}}=\dfrac{\sum\limits_{cyc}{x_1x_2\cdots x_{n-1}}}{\prod{x_1}}=\dfrac{\left(-1\right)^{n-1}.a_1}{\left(-1\right)^{n}.a_0}=-1$$
şeklinde barizdir. Bundan dolayı $S=n-1$ olarak elde edilir.

Probleme özel $n=4$ verildiğinde cevap $\boxed{S=3}$ olarak elde edilir.

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{B}$

$a$ denklemin bir kökü olduğundan $a^4+a+1=0$   yani $a^4=-a-1=a\cdot a^3$  ve $a^3=-\dfrac{a+1}{a}$ değerini uyarlayarak toplamda yerine yazarsak $$S=\dfrac{a^2}{a^3+1}+\dfrac{b^2}{b^3+1}+\dfrac{c^2}{c^3+1}+\dfrac{d^2}{d^3+1}=-(a^3+b^3+c^3+d^3)=\dfrac{a+1}{a}+\dfrac{b+1}{b}+\dfrac{c+1}{c}+\dfrac{d+1}{d}=4+\dfrac{bcd+acd+abd+abc}{abcd}$$ olur.

Vieta teoreminden köklerin üçlü çarpımları  $bcd+acd+abd+abc=-1$ ve  kökler çarpımı $abcd=1$ olacağından $$S=3$$ bulunur.

Not: Şöyle de düşünüebilir: $\dfrac{a^2}{a^3+1}=\dfrac{a^3}{a^4+a}=\dfrac{a^3+1-1}{a(a^3+1}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^4+a}=\dfrac{1}{a}+1$