2023 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11 (10. Sınıf)

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Aşağıdaki
$$\dfrac{\dbinom{23}{11}\dbinom{24}{11}}{\dbinom{23}{12}\dbinom{24}{12}}+\dfrac{\dbinom{24}{11}\dbinom{25}{11}}{\dbinom{24}{12}\dbinom{25}{12}}+\cdots+\dfrac{\dbinom{34}{11}\dbinom{35}{11}}{\dbinom{34}{12}\dbinom{35}{12}}$$
ifadesinin değeri nedir ?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad \qquad \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad  \qquad\qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad \qquad \qquad\textbf{d)}\ 11  \qquad\qquad \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Cevap: $\boxed{E}$

Daha genel bir çözüm verelim. Pay ve paydalardaki binom ifadelerini açtığımızda basit bir teleskobik toplam elde ederiz.

$$\sum_{i=0}^{p}{\left(\dfrac{\dbinom{x+i}{y}\dbinom{x+i+1}{y}}{\dbinom{x+i}{y+1}\dbinom{x+i+1}{y+1}}\right)}=\sum_{i=0}^{p}{\dfrac{\left(y+1\right)^2}{\left(x-y+i\right)\left(x-y+i+1\right)}}$$
$$=\left(y+1\right)^2\left(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-y+1}+\dfrac{1}{x-y+1}-\dfrac{1}{x-y+2}+\cdots+\dfrac{1}{x-y+p}-\dfrac{1}{x-y+p+1}\right)$$
$$=\left(y+1\right)^2\left(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-y+p+1}\right)=\dfrac{\left(y+1\right)^2\left(p+1\right)}{\left(x-y\right)\left(x-y+p+1\right)}$$
olarak elde edilir. Probleme özel

$$x=23, y=11, p=11$$
değerleri verildiğinde ifadenin değeri $\dfrac{\left(y+1\right)^2\left(p+1\right)}{\left(x-y\right)\left(x-y+p+1\right)}=\dfrac{12^3}{12.24}=\boxed{6}$  olarak elde edilir.