Kanada 1979/1

[Lokman Gökçe]

Kanada 1979/ Pr 1:
$\bullet$ $a,b>0$,
$\bullet$ $a, A_1, A_2, b$ aritmetik dizi ve $a, G_1, G_2, b$ geometrik dizi
olarak veriliyor. Buna göre
$$ A_1A_2 \geq G_1G_2 $$
olduğunu gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

Aritmetik dizinin ortak farkı $d$, geometrik dizinin ortak çarpanı $r$ olsun. $a+3d=b$ olduğundan $d=\frac{b-a}{3}$'dür. Geometrik diziden $ar^3=b$ olduğundan $r=\sqrt[3]{\frac{b}{a}}$'dır. Buradan $$A_1=a+d=\frac{b+2a}{3},\quad A_2=a+2d=\frac{2b+a}{3} \text{   ve   } G_1=ar=a\sqrt[3]{\frac{b}{a}},\quad G_2=ar^2=a\sqrt[3]{\frac{b^2}{a^2}}$$ $$\implies A_1A_2=\frac{(b+2a)(2b+a)}{9}\text{   ve   } G_1G_2=a^2r^3=ab$$ Yani ispatlamamız gereken eşitsizlik $$(2b+a)(2a+b)=2a^2+2b^2+5ab\geq 9ab\iff a^2+b^2\geq 2ab\iff (a-b)^2\geq 0$$ olur ki bu eşitsizlik de doğrudur. Dolayısıyla, $A_1A_2\geq G_1G_2$'dir.