Yanıt: $\boxed E$
$AB$ nin orta noktası $M$, $AC$ nin orta noktası $N$, $\triangle ABC$ nin ağırlık merkezi $G$ olsun.
Sorudaki tanım gereği, $CM$ doğrusu $\angle DCB$ nin açıortayıdır. Bu da $AC=BC$ olduğu anlamına gelir.
$BC = 2\cdot AN=2 \cdot NC$ olacaktır.
$\triangle DBC$ de $BN$ açıortay olduğu için $BD/DB=BC/CN=2$ olacaktır.
Dikkatli geometriciler $\triangle DBC$ nin bir $3-4-5$ üçgeni olduğunu hemen görecektir. ($BC=10$ ve $DN=x$ dersek, dik üçgenin kenarları $2x, 5+x, 10$ olacaktır.)
Göremeyenler için $DN = x, NC=y$ dersek $(x+y)^2+(2x)^2=(2y)^2$ denklemini elde ederiz. Buradan $5x^2+2xy-3y^2=(5x-3y)(x+y)=0$ ve $\dfrac xy = \dfrac 35$ olur.
$BD=2\cdot DN = 6k$ dersek $AN=NC=5k$, $AC=10k$, $AD=2k$ olur.
$\triangle ABD$ de Pisagor'dan $40k^2=4$, $k=\dfrac 1{\sqrt{10}}$ ve $AC=10k=\sqrt {10}$ olacaktır.