Gönderen Konu: 2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 25  (Okunma sayısı 1639 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.569
  • Karma: +4/-0
2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 25
« : Şubat 24, 2023, 02:03:58 öö »
$ABC$  üçgeninde $B$'den çizilen yüksekliğin ayağı $D$  ve $|AB|=2$  olsun. $ABC$  üçgeninin ağırlık merkezi ile $DBC$  üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi aynı nokta olduğuna göre$,\ |AC|$  kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ \sqrt{14}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{13}  \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{11}  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{10}$

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.659
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 25
« Yanıtla #1 : Şubat 25, 2023, 09:09:51 öö »
Yanıt: $\boxed E$

$AB$ nin orta noktası $M$, $AC$ nin orta noktası $N$, $\triangle ABC$ nin ağırlık merkezi $G$ olsun.
Sorudaki tanım gereği, $CM$ doğrusu $\angle DCB$ nin açıortayıdır. Bu da $AC=BC$ olduğu anlamına gelir.
$BC = 2\cdot AN=2 \cdot NC$ olacaktır.
$\triangle DBC$ de $BN$ açıortay olduğu için $BD/DB=BC/CN=2$ olacaktır.
Dikkatli geometriciler $\triangle DBC$ nin bir $3-4-5$ üçgeni olduğunu hemen görecektir. ($BC=10$ ve $DN=x$ dersek, dik üçgenin kenarları $2x, 5+x, 10$ olacaktır.)
Göremeyenler için $DN = x, NC=y$ dersek $(x+y)^2+(2x)^2=(2y)^2$ denklemini elde ederiz. Buradan $5x^2+2xy-3y^2=(5x-3y)(x+y)=0$ ve $\dfrac xy = \dfrac 35$ olur.
$BD=2\cdot DN = 6k$ dersek $AN=NC=5k$, $AC=10k$, $AD=2k$ olur.
$\triangle ABD$ de Pisagor'dan $40k^2=4$, $k=\dfrac 1{\sqrt{10}}$ ve $AC=10k=\sqrt {10}$ olacaktır.
« Son Düzenleme: Şubat 26, 2023, 07:32:33 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.659
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 25
« Yanıtla #2 : Şubat 25, 2023, 09:33:20 öö »
$AB$ nin orta noktası $M$, $\triangle ABC$ nin ağırlık merkezi $G$ olsun.
Sorudaki tanım gereği, $CM$ doğrusu $\angle DCB$ nin açıortayıdır. Bu da $AC=BC$ olduğu anlamına gelir.
$\angle ACM = \angle ABD = \angle MDB = \alpha$.
$\angle DBG =\angle GBC = \dfrac{\angle DBC}{2}=45^\circ - \alpha$ olduğu için $\angle MBG=45^\circ$ ve $MG=MB=1$ ve $CG=2$ olur. $\triangle AMC$ de Pisagor'dan $AC = \sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ olur.
« Son Düzenleme: Şubat 26, 2023, 07:32:12 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal