2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 24

[matematikolimpiyati]

$P(x),$  ikinci dereceden bir polinom olsun. Her $x \in \mathbb R$  için$,\ P(2x(4x^2+1)) \geq P(4x^2+1)$  eşitsizliği sağlanıyorsa$,\ P(x)$  polinomunun kökleri toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ -3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Öncelikle eşitsizliğe bakınca sabit terimin hiç etkisi olmadığını görebiliriz. Dolayısıyla $P(x)=ax^2+bx+c=a(x-r)^2+k$ halinde $k=0$ seçebiliriz. Bu yüzden "köklerin toplamı" denirken farklı köklerden bahsedilmediğini varsayabiliriz. Aksi takdirde soru hatalı olacaktır.

$P(x)=ax^2+bx+c$ dersek, $P(x)-P(y)=a(x^2-y^2)+b(x-y)=(x-y)(ax+ay+b)$ olacağından $$P(2x(4x^2+1))\geq P(4x^2+1)\iff (2x-1)(4x^2+1)(a(2x+1)(4x^2+1)+b)\geq 0$$ olacaktır. $4x^2+1\geq 0$ olduğundan $(2x-1)(a(2x+1)(4x^2+1)+b)\geq 0$ olmalıdır. İfadenin her zaman pozitif olması için $(a(2x+1)(4x^2+1)+b)$ çarpanının $(2x-1)$'i içermesi gerekmedir. Yani $x=\frac{1}{2}$ için $$\left[a(2x+1)(4x^2+1)+b\right]\mid _{x=\frac{1}{2}}=4a+b=0\implies -\frac{b}{a}=4$$ elde edilir.

Örnek durum olarak $a=1$, $b=-4$ ve $c=0$, yani $P(x)=x^2-4x$ seçilebilir.