2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 23

[matematikolimpiyati]

$x,y,z$  reel sayılar ve $x<2y<z<12$  olmak üzere$,$

                                $\left\{ \begin{array}{rcl}  \dfrac{1}{2y-x} + \dfrac{1}{z-2y} & \leq & 1  \\ \dfrac{1}{12-z} + 1 & \leq & \dfrac{x}{4}    \end{array}\right.$

eşitsizlik sistemi sağlansın. Buna göre$,\ x+y+z$  toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 19  \qquad\textbf{c)}\ 22  \qquad\textbf{d)}\ 21  \qquad\textbf{e)}\ 20$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Aritmetik-Harmonik ortalama eşitsizliğinden $$4\leq \left(\frac{1}{2y-x}+\frac{1}{z-2y}\right)((2y-x)+(z-2y))\leq z-x\implies z\geq x+4\implies 12-z\leq 8-x\implies \frac{1}{12-z}\geq \frac{1}{8-x}\tag{1}$$ $8-x\geq 12-z>0$ olduğundan $8-x$'in pozitif olduğunu görebiliriz. $$(1)\implies 1+\frac{1}{8-x}\leq 1+\frac{1}{12-z}\leq \frac{x}{4}\implies \frac{(x-6)^2}{4(8-x)}\leq 0\implies x=6$$ Eşitlik durumundan dolayı $z=10$ ve $2y-x=z-2y$'den $y=4$ olmalıdır. Sonuç olarak da $x+y+z=20$ elde edilir.