2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 22

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$  eşkenar üçgeninde$,\ BC$  kenarı üzerinde $|BD|<|BE|$  olacak şekilde $D$  ve $E$  noktaları seçiliyor. $|BD|=16,\ |EC|=5$  ve $m(\widehat{DAE})=30^{\circ}$  ise $|AC|$  uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 39  \qquad\textbf{b)}\ 40  \qquad\textbf{c)}\ 36  \qquad\textbf{d)}\ 38  \qquad\textbf{e)}\ 33$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$BC$ nin orta noktası $M$, $D$ den $AB$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun.
$AC=x$ dersek $BH=8$, $AH=x-8$, $DH=8\sqrt 3$, $MD=\dfrac x2 -16$, $ME=\dfrac x2 -5$, $AM=\dfrac {x\sqrt 3}2$ olur.
$\angle BAD = \angle MAE$ olduğu için $\triangle HAD \sim \triangle MAE$. Buradan $HD/HA = ME/MA$ oranını yazarsak $$\dfrac{8\sqrt 3}{x-8}=\dfrac {\dfrac x2 - 5}{\dfrac {x\sqrt 3}2}$$ eşitliğinden $x^2-42x+80=(x-2)(x-40)=0$ denklemi elde edilir. Köklerden sadece $x=40$ sağlar.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Sırasıyla $B$  ve $C$  noktalarının $AD$  ve $AE$  doğrularına göre simetrikleri çakışıktır (Çünkü $\angle BAD+\angle CAE=30^{\circ}$  dir.) Bu noktaya $P$  diyelim. $PD=16$, $PE=5$  ve $\angle DPE=120^{\circ}$  olduğundan Kosinüs Teoremiyle $DE=19$  bulunur. Dolayısıyla eşkenar üçgenin bir kenarı $40$  tır.

Kaynak: Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözüm Kitabı