2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 21

[matematikolimpiyati]

$a_k=\dfrac{19^k+91^k}{k!},\ (k=1,2,3,...)$  dizisinin en büyük terimi$,$  kaçıncı terimdir?

$\textbf{a)}\ 50  \qquad\textbf{b)}\ 55  \qquad\textbf{c)}\ 70  \qquad\textbf{d)}\ 90  \qquad\textbf{e)}\ 91$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Dizinin en büyük terimi $a_k$ ise $a_{k}\geq a_{k+1}$ ve $a_k\geq a_{k-1}$ olmalıdır. İlkinden, $$\frac{19^k+91^k}{k!}\geq \frac{19^{k+1}+91^{k+1}}{(k+1)!}\implies (k+1)\geq \frac{19^{k+1}+91^{k+1}}{19^k+91^k}=91-\frac{72\cdot 19^k}{19^k+91^k}$$ olur. $k\geq 3$ olacağı barizdir. Dolayısıyla $91^k>71\cdot 19^k$ olacaktır. Buradan da $$k+1> 91-\frac{72\cdot 19^k}{72\cdot 19^k}=90\implies k\geq 90$$ bulunur. ve ikinci eşitsizlikten $$\frac{19^k+91^k}{k!}\geq \frac{19^{k-1}+91^{k-1}}{(k-1)!}\implies \frac{19^{k}+91^{k}}{19^{k-1}+91^{k-1}}=91-\frac{72\cdot 19^{k-1}}{19^{k-1}+91^{k-1}}\geq k$$ Benzer şekilde buradan da $90\geq k$ bulunur. Yani en büyük terim $k=90$ iken elde edilir.