2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[matematikolimpiyati]

$ABC$  üçgeninde $|AB|=4,\ |AC|=5$  ve $|BC|=6$'dır. $E$  ve $D,\ [AC]$  doğru parçası üzerinde iki nokta olmak üzere$,\ m(\widehat{ABE})=m(\widehat{EBD})=m(\widehat{DBC})$  ise $m(\widehat{BDA})$  kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 45^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 60^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 30^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 75^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 15^{\circ}$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$BC=BF=6$ olacak şekilde $[CA$ üzerinde $F$ noktası alalım. Stewart'ın özel halinden $AF\cdot AC = BC\cdot BF - AB^2$, $AF\cdot 5 = 6^2-4^2=20 \Longrightarrow AF = 4$.
$\angle ABF = \angle BFA =\angle BCF$ olur.
$3\angle BDA = 3(\angle CBD + \angle BCD)=180^\circ \Longrightarrow \angle BDA = 60^\circ$.