2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[matematikolimpiyati]

$x=\sqrt{27-10\sqrt2}$  olmak üzere$,\ S= \dfrac{x^4-10x^3+24x^2-10x+47}{x^2-10x+26}$  ifadesinin değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Eğer $x=\sqrt{(25+2)-2\sqrt{25\cdot 2}}=\sqrt{25}-\sqrt{2}=5-\sqrt{2}$ yazarsak, $$x(10-x)=(5-\sqrt{2})(5+\sqrt{2})=23\implies x^2-10x+23=0$$ elde edilir. $$S=\frac{x^4-10x^3+23x^2+x^2-10x+47}{x^2-10x+26}=\frac{x^2(x^2-10x+23)+(x^2-10x+23)+24}{(x^2-10x+23)+3}=\frac{24}{3}=8$$ elde edilir.