2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

Burcu$,$ Emel$,$ Tolga ve Alp$,$ aşağıda verilen$,$ kendilerinin tanımladığı özelliklere sahip üçgenlere "BETA ÜÇGENİ" adını veriyorlar.

     Burcu : Üçgenin alanı tam sayı olsun.

     Emel  : Üçgenin en küçük iki kenarı ardışık tam sayı olsun.

     Tolga : Üçgenin en büyük kenarı$,$ çevre uzunluğunun yarısından $1\ br$ küçük olsun.

     Alp    : Üçgenin çevresinin uzunluğu $500$'den küçük olsun.

Tolga bu koşullara uygun en küçük üçgenin $(3,4,5)$ üçgeni olduğunu hemen söylüyor. Buna göre$,$ bir BETA ÜÇGENİNİN çevre uzunluğunun$,\ 100$'den büyük olma olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac58  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac37  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac38  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac47$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Üçgenin en küçük iki kenarı $a$ ve $a+1$ olsun. En uzun kenarına $b$ dersek, $\frac{2a+1+b}{2}=b+1$ olacağından $b=2a-1$ olur. $(a,a+1,2a-1)$ üçgeninin üçgen eşitsizliğini sağladığını görmek kolaydır. $2a-1>a+1$ olması gerektiğinden $a\geq 3$'dür. $a+(a+1)+(2a-1)=4a<500$ olduğundan $a\leq 124$ olacaktır. Üçgenin alanının tamsayı olması için Heron formülünden $$\sqrt{2a(2a-a)(2a-(a+1))(2a-(2a-1))}=\sqrt{2a^2(a-1)}=a\sqrt{2(a-1)}$$ tamsayı olmalıdır. Buradan da $2(a-1)$ tamkare olması gerektiğinden $a=2t^2+1$ formatında bulunur. Yani üçgenimizin kenarları $124\geq 2t^2+1\geq 3$ veya düzenlersek $7\geq t\geq 1$ olmak üzere $(2t^2+1,2t^2+2,4t^2+1)$ şeklindedir. Çevre uzunluğu $8t^2+4$'dür. $$8t^2+4\geq 100\implies t^2\geq 12\implies t\geq 4$$ olmasını istiyoruz. Tüm durumda $7$ tane $t$ değeri vardır ve $4$ tanesinde istenileni sağlar. Dolayısıyla aranan olasılık $\frac{4}{7}$'dir.