2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

Pozitif bölenleri $d_1,d_2,...,d_{12}$  olan ve

                    $1=d_1<d_2<d_3< \cdots <d_{12}=d,\ d_6=12$  ve $d_8+d_2=48$

koşullarını sağlayan $d$  pozitif tam sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 15  \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ 12  \qquad\textbf{e)}\ 18$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$d_6=12$ olduğundan dolayı $d$ çifttir ve $d_2=2$ olmak zorundadır. Ayrıca $3\mid d_6$ ve $4\mid d_6$ olduğundan $d_3=3$ ve $d_4=4$ olacaktır. $d_8=48-d_2=46$ olduğundan $23$'ün de bir bölen olduğunu söyleyebiliriz. $d$ sayısı $3,4,23$'e bölündüğünden $\text{ekok}(3,4,23)=276$'ya ve onun tüm bölenlerine de bölünecektir. Halihazırda $276$'nın tam olarak $12$ tane pozitif böleni olduğundan $d=276$ olmalıdır. $d$'nin rakamları toplamı da $2+7+6=15$'dir.