2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

$a_{n+2}=\dfrac{2a_{n+1}}{3a_n},\ a_0=2$  ve $a_1=1$  olduğuna göre$,\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_{3n}}{3^n}$  toplamının değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac73  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac83  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac92  \qquad\textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac72$
 

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

İlk birkaç terimi yazalım. $$a_0=2, a_1=1, a_2=\frac{1}{3}, a_3=\frac{2}{9}, a_4=\frac{4}{9}, a_5=\frac{4}{3}, a_6=2, a_7=1, \dots$$ Yani dizi $6$ terimde bir tekrara giriyor. Buradan $a_{6k}=2$ ve $a_{6k+3}=\frac{2}{9}$ bulunur. Eğer verilen toplamı tekler ve çiftler olarak ayırırsak (bunu yapabilmemiz için dizinin yakınsadığını göstermek gerekiyor ama çoktan seçmeli bir sınav olduğundan dolayı yakınsadığını biliyoruz), $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{3n}}{3^n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{6k}}{3^{2k}}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{6k+3}}{3^{2k+1}}$$ $$=2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{9^{k}}+\frac{2}{27}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{9^{k}}=\frac{56}{27}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{9}}=\frac{56}{27}\cdot \frac{9}{8}=\frac{7}{3}$$ elde edilir.