2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 14

[matematikolimpiyati]

Her $x \neq 2$  için $f(x)+4x=(x-2) \cdot f \left( \dfrac{2x+1}{x-2} \right)$  fonksiyonel denklemini sağlayan $f$  fonksiyonu için$,\ f(17,71)$'in tam kısmı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 34  \qquad\textbf{b)}\ 45  \qquad\textbf{c)}\ 48  \qquad\textbf{d)}\ 44  \qquad\textbf{e)}\ 54$
 

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Doğrusal bir fonksiyon denersek, $f(x)=ax+b$ için $f(x)=3x+1$'in bir çözüm olduğunu görebiliriz. Buradan direkt olarak $f(17,71)=54.13$ ve tam kısmı $54$ bulunur. Yine de tek çözümün ($x\neq 2$ için) bu olduğunu gösterelim.

$g(x)=f(x)-3x-1$ olarak tanımlayalım. Bu durumda verilen eşitlik $$g(x)+7x+1=(x-2)\left(\frac{7x+1}{x-2}+g\left(\frac{2x+1}{x-2}\right)\right)$$ $$\implies g(x)=(x-2)g\left(\frac{2x+1}{x-2}\right)$$ $x\to x+2$ yazarsak $x\neq 0$ için $g(x+2)=xg\left(2+\frac{5}{x}\right)$ olur. Bu eşitlikte de $x\to \frac{5}{x}$ uygularsak, $$g\left(\frac{5}{x}+2\right)=\frac{5}{x}g(x+2)\implies 5g(x+2)=g(x+2)\implies g(x+2)=0$$ bulunur. Dolayısıyla $x\neq 2$ için $g(x)= 0$ ve $f(x)=3x+1$'dir.