2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

$2x= \left( \dfrac{x^3+1}{2} \right)^3+1$  denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 9$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Eşitliği düzenlersek, $\sqrt[3]{2x-1}=\frac{x^3+1}{2}$ olacaktır. Eğer $f(x)=\frac{x^3+1}{2}$ dersek, $f$ fonksiyonu $\mathbb{R}$'den $\mathbb{R}$'ye birebir örtendir. Dolayısıyla $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{2x-1}$ yazabiliriz. $f^{-1}$ fonksiyonu $f$'nin $x=y$ doğrusuna göre yansıtılmış halidir. Dolayısıyla $f(x)=f^{-1}(x)$ olan her $x$ için $f(x)=f^{-1}(x)=x$'dir. Sonuç olarak sadece $f(x)=x$ eşitliğini çözmemiz yeterlidir. $$\frac{x^3+1}{2}=x\implies x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)=0$$ olur. Yani çözümler $x=1$, $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$'dir ve $3$ tane çözüm vardır.