2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[matematikolimpiyati]

$\left\{ \begin{array}{ccc}  1 < x^1 < 3 \\ 2 < x^2 < 4 \\ 3 < x^3 < 5 \\ \vdots \\ m < x^m < m+2 &  \end{array}\right.$  eşitsizlik sisteminin reel sayılarda çözümünün olmasını sağlayan en büyük $m$ doğal sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$m\geq 6$ için çözüm olmadığını gösterelim. Aksini varsayalım. $3<x^3<5$ ve $6<x^6<8$ olacak şekilde bir $x$ olmalı. Ancak ilk eşitsizlikte terimlerin karesini alırsak, $9<x^6<25$ elde ederiz ki bu da $x^6<8$ ile çelişir. Dolayısıyla $m\leq 5$ olmalıdır. $m=5$ için örnek bulmaya çalışalım. $x$'in pozitif olduğunu biliyoruz. Eşitsizliklerden, $$x\in (1,3)$$ $$x^2\in (2,4)\implies x\in (\sqrt{2},2)$$ $$x^3\in (3,5)\implies x\in (\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{5})$$ $$x^4\in (4,6)\implies x\in (\sqrt[4]{4},\sqrt[4]{6})$$ $$x^5\in (5,7)\implies x\in (\sqrt[5]{5},\sqrt[5]{7})$$ En büyük alt sınır ve en düşük üst sınırı seçersek, $x\in (\sqrt[3]{3},\sqrt[5]{7})$ elde ederiz. $\sqrt[5]{7}>\sqrt[3]{3}$ olduğundan bu aralıktan sonsuz $x$ bulabiliriz. Dolayısıyla $m=5$ için çözüm vardır.