2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09

[matematikolimpiyati]

$f(x)=\dfrac{(x-\sqrt2)(x-\sqrt3)}{(1-\sqrt2)(1-\sqrt3)} + 2 \cdot \dfrac{(x-1)(x-\sqrt3)}{(\sqrt2-1)(\sqrt2-\sqrt3)} + 3 \cdot \dfrac{(x-1)(x-\sqrt2)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3-\sqrt2)}$  olduğuna göre$,\ f(5)+f(6)$  değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 67  \qquad\textbf{b)}\ 83  \qquad\textbf{c)}\ 61  \qquad\textbf{d)}\ 65  \qquad\textbf{e)}\ 74$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$f$ fonksiyonunun ikinci dereceden olduğunu görebiliriz. Eğer $x=1,\sqrt{2},\sqrt{3}$ yazarsak, $f(1)=1$, $f(\sqrt{2})=2$ ve $f(\sqrt{3})=3$ bulunur. Farklı $3$ noktadan geçen tam olarak bir tane ikinci dereceden polinom vardır. Verilen değerler $y=x^2$ parabolü üzerinde olduğundan $f(x)=x^2$'dir. Dolayısıyla $f(5)+f(6)=5^2+6^2=61$ bulunur.