Cevap: $\boxed{D}$
[Birinci Yol] Verilen ifadede $\frac{20}{x}$'i $4$ parçaya ayırıp AGO uygulamaya çalışırsak, eşitlik durumunun sağlanmayacağını görebiliriz. Bundan dolayı daha analitik bir yol takip edelim. $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+4x+\frac{20}{x}$ fonksiyonu tanımlarsak, $$f'(x)=3x^2+4-\frac{20}{x^2}=\frac{3x^4+4x^2-20}{x^2}=\frac{(x^2-2)(3x^2+10)}{x^2}$$ olur. Bu fonksiyon minimum değerini $x^2=2$, yani $x=\sqrt{2}$ noktasında alır. Dolayısıyla aradığımız cevap $\min{f}=(\sqrt{2})^3+4\sqrt{2}+\frac{20}{\sqrt{2}}=16\sqrt{2}$ elde edilir.
[İkinci Yol] İlk akla gelen AGO'ya uygun parçalama eşitlik durumundan dolayı işe yaramamaktadır. Bu yüzden başka bir parçalama arayalım. $x^3$'ü $a$ parçaya, $4x$'i $b$ parçaya ve $\frac{20}{x}$'i $c$ eşit parçaya ayıralım. Bu parçaların geometrik ortalamasında $x$'li terim kalmamasını istediğimizden $$3a+b=c$$ olmalıdır. Eşitlik durumunun sağlanabilmesi için de $$\frac{x^3}{a}=\frac{4x}{b}=\frac{20}{xc}$$ denklemlerinin çözümü olmalıdır. İlk eşitlikten $x=\sqrt{\frac{4a}{b}}$, ikinci eşitlikten $x=\sqrt{\frac{5b}{c}}$ elde edilir. Yani $4ac=5b^2$ olmalıdır. Önceki denklemi de kullanırsak $4ac=5(c-3a)^2$ veya düzenlenmiş haliyle, $(5c-9a)(c-5a)=0$ elde ederiz. Buradan da $(a,b,c)=(1,2,5)$ seçebileceğimizi görürüz. Dolayısıyla, $x^3+2x+2x+\frac{4}{x}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x}$ şeklinde ayırıp AGO uygularsak, $$x^3+2x+2x+\frac{4}{x}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x}\geq 8\sqrt[8]{x^3\cdot (2x)^2\cdot \left(\frac{4}{x}\right)^5}=16\sqrt{2}$$ olur. Eşitlik durumu ise $x=\sqrt{2}$ olur.
Not: Benim tercihim birinci yol ama AGO'daki parçalamayı tahmin edebilecek biri için (ki bu örnekte basit çıkıyor) ikinci yol daha kolay olacaktır.
