Cevap: $\boxed{A}$
Farklı kitaplardan Gökhan'a verilenlerin sayısı $a,b,c,d$ olsun. Eğer $a,b,c,d$'yi biliyorsak otomatik olarak Nihan'a verilenleri de bulacağımızdan sadece Gökhan'ın kitaplarına odaklanmak yeterlidir. Gökhan'ın kitaplarındaki koşullar şunlardır; $0\leq a,b,c,d\leq 6$ ve $a+b+c+d=12$ olmasını istiyoruz. Bu soruyu düzenlersek, $(1+x+x^2+\dots+x^6)^4$'deki $x^{12}$'nin katsayısının ne olduğuna dönüşür. Çünkü her çarpandan $x^a$, $x^b$, $x^c$ ve $x^d$ gelecek ve çarpımları $x^{a+b+c+d}=x^{12}$ olacaktır. Ayrıca $0\leq a,b,c,d\leq 6$ koşulu da sağlanacaktır. Yani $$(1+x+x^2+\dots+x^6)^4=\left(\frac{x^7-1}{x-1}\right)^4=(x^7-1)^4(x-1)^{-4}$$ polinomundaki $x^{12}$ katsayısına bakmalıyız. $(x^7-1)^4$'den sadece $x^7$ ve $1$ gelebilir, diğer türlü $x^{12}$'yi aşacaktır.
$x^7$ gelirse, gelen $x^7$'nin katsayısı $-\dbinom{4}{1}=-4$ olacak. $(x-1)^{-4}$'den ise $x^5$ gelmelidir. Negatif binomdan $x^5$'in katsayısı da $$(-1)^{-4-5}\dbinom{-4}{5}=-\dbinom{-4}{5}=-\frac{(-4)(-5)(-6)(-7)(-8)}{5!}=56$$ bulunur. Buradan $-4\cdot 56=-224$ katsayısı gelir.
$(x^7-1)^4$'den $x^0=1$ gelirse, katsayısı da $1$ olacaktır. $(x-1)^{-4}$'den ise $x^{12}$ gelmelidir. Negatif binomdan $x^{12}$'in katsayısı da $$(-1)^{-4-12}\dbinom{-4}{12}=\dbinom{-4}{12}=\frac{(-4)(-5)(-6)(-7)(-8)\cdots (-15)}{12!}=\frac{15!}{3!\cdot 12!}=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{6}=455$$ bulunur. Dolayısıyla tüm $x^{12}$'nin katsayısı $455-224=231$ bulunur.
