2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04

[matematikolimpiyati]

$x$  reel sayısı$,\ (x+1)(3x+2)(6x+5)^2=6$  denklemini sağladığına göre$,\ \left( 3x + \dfrac{5}{2} \right)^2$  ifadesinin değeri kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 1,96  \qquad\textbf{c)}\ 2,25  \qquad\textbf{d)}\ 2,5  \qquad\textbf{e)}\ 1,44$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Aradığımız değer $y=\frac{1}{4}(6x+5)^2$'dir. Yani $4y=(6x+5)^2=36x^2+60x+25$'dir. Verilen eşitlikte $$(x+1)(3x+2)=3x^2+5x+2=\frac{4y-25}{12}+2=\frac{4y-1}{12}$$ $$\implies \frac{4y-1}{12}\cdot 4y=6\implies (4y-1)y=18\implies 4y^2-y-18=(y+2)(4y-9)=0$$ elde edilir. $x$ reel sayı olduğundan $y=\left(3x+\frac{5}{2}\right)^2\geq 0$'dır. Buradan $y=\frac{9}{4}=2.25$ elde edilir.