2016 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[matematikolimpiyati]

$25$ kişilik bir sınıfta başkanlık seçimi yapılacaktır. Öğrenciler başkan adayları olan Teoman, Alper ve Berk'in her üçünün de isimlerini, daha çok tercih ettiklerini daha önce yazmak koşuluyla, bir kağıda yazıyorlar. Seçim sonunda kağıtlarda, Teoman'ın Alper'den $19$ kez daha önce, Berk'in Teoman'dan $12$ kez daha önce ve Alper'in Berk'ten $11$ kez daha önce yazıldığı görülüyor. Her sıralamanın en az iki kez yazıldığı bilindiğine göre Berk kaç kez birinci sırada yazılmıştır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 9$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Olası $6$ tane sıralama vardır. Bunlar $(A,B,T)$, $(A,T,B)$, $(B,A,T)$, $(B,T,A)$, $(T,A,B)$, $(T,B,A)$ şeklindedir. Bu sıralamaların sırasıyla $a,b,c,d,e,f$ defa yazıldığını varsayalım. Bu durumda Teoman'ın Alper'den önce yazıldığı $d+e+f=19$ tane, Berk'in Teoman'dan önce yazıldığı $a+c+d=12$ tane, Alper'in Berk'ten önce yazıldığı $a+b+e=11$ tane kağıt vardır. Ayrıca $a+b+c+d+e+f=25$ ve $a,b,c,d,e,f\geq 2$ olduğunu biliyoruz. $$d+e+f=19\implies a+b+c=6$$ ama $a,b,c\geq 2$ olduğundan bunun tek yolu $a=b=c=2$ olmasıdır. Bu durumda $$a+c+d=12\implies d=8$$ $$a+b+e=11\implies e=7$$ $$d+e+f=19\implies f=4$$ elde edilir. Yani $(a,b,c,d,e,f)=(2,2,2,8,7,4)$ olacaktır. Berk'in birinci sırada yazıldığı durumların sayısı $c+d=10$ tanedir.